Por Arturo Ponce de León Huerta.
Marcadores astronómicos.
Al hablar de la geometría aplicada al diseño resulta importante establecer las maneras de hacerlo y establecer su vinculación que mantiene con el contexto cultural. En este artículo se analizan dos patrones geométricos que se presentan en la traza de algunos marcadores astronómicos ubicados dentro de la ciudad prehispánica de Teotihuacán. Si bien en la traza de la ciudad misma, también aparecen otros patrones, en esta investigación se involucran únicamente algunos de estos marcadores. 1
Se piensa que algunas de las cruces punteadas o marcadores astronómicos de Teotihuacán, plantean o resumen una forma de interpretar o recrear posiciones importantes de los dioses, en este caso particular de los planetas Venus y Marte. Siendo esta forma de abstracción racional, aplicada al conocimiento de los movimientos aparentes de la bóveda celeste, una de las explicaciones del avance mesoamericano en la astronomía y que particulariza la recreación geométrica de la naturaleza a través del urbanismo y la arquitectura.
El análisis que de estas cruces punteadas a continuación se hace, es bajo un sistema matemático occidental, porque se desconoce a detalle el sistema de abstracción matemática, de cómo llegaron a esos diagramas o figuras geométricas los antiguos teotihuacanos. Se propone como corolario la similitud del patrón de trazo geométrico de TEO 17 y TEO 22 (marcadores mejor trazados y más representativos con relación a otros con trazos menos regulares), con las circunvalaciones reales alrededor del Sol, de los planetas Venus y Marte, según gráficas de la carta de órbitas planetarias del observatorio de Harvard.
Inscripción y circunscripción de dos círculos por un polígono
Como un canon geométrico prehispánico, me voy a referir a las cruces punteadas con dos círculos concéntricos, de puntos horadados en el estuco de los pisos o en las rocas, que se han descubierto en diferentes lugares de la gran urbe de Teotihuacán y que no obstante, algunas de trazo irregular, sugieren un patrón geométrico, relacionado con el tiempo de duración de los movimientos sinódicos2 de Venus y Marte, así como con los movimientos aparentes del Sol.
Si bien este tema geométrico ha sido desarrollado como clásico de la geometría y utilizado en la arquitectura de las culturas más importantes de la antigüedad, poco se sabe de la implicación de ello con la posición espacial aparente de los planetas o con la misma estructura del Universo, o con el posible primer conocimiento que tuvo el hombre, tanto aquí en América como en el otro continente, de estos patrones geométricos, que posiblemente en un principio no fueron tanto deducciones matemáticas, sino la observación y el dibujo graficado de estos movimientos, por medio de los cuales se dedujeron los cánones mismos. En otro trabajo presentado en la Isla de Cozumel, organizado por la UNESCO (Ponce de León, 2014: 57), analizo algo de esto, cuando se trata de los patrones geométricos de Venus en tiempo y espacio, elaborando una serie de conclusiones, que demuestran su origen cósmico, que al menos aquí en Mesoamérica queda patente su relación con el trazo geométrico de estos marcadores y también con la arquitectura y el urbanismo.
Voy a analizar seis marcadores que se encuentran dentro del área de Teotihuacán y que son: TEO 1, 2, 3, 17, 19 y 22. En estos marcadores se aprecia la intención de un mismo patrón en su forma de una cruz punteada con dos círculos concéntricos de puntos, pero no me voy a referir a sus orientaciones, ni a la posible señalización de apariciones u ocultamientos del sol, en los lugares señalados en el horizonte por éstas, ni a las de otros sitios arqueológicos por esas mismas alineaciones (Aveni, A. y Hartung, H. 1985). El estudio del sugestivo patrón geométrico del marcador en sí mismo, refuerza la idea señalada por otros investigadores (Aveni, A. 1991), sobre su uso o relación con el calendario.
Debido a la irregularidad en su trazo, de algunos marcadores no se pretende llegar a explicar en ellos su forma con exactitud matemática; sino por medio de la aproximación en ellos respecto a los mejor trazados en sus formas geométricas, se considera sugestivo un patrón geométrico.
El tema más frecuente en los marcadores e inclusive en otros productos culturales como la cerámica o la escultura es el que se refiere a los dos círculos concéntricos, donde uno inscribe y el otro circunscribe a un cuadrado virtual no trazado o no visible, como elemento componente del marcador. Esto sucede en el trazo del Calendario Azteca, donde la relación entre el radio del círculo exterior y el radio del círculo interior; si recurrimos a una expresión matemática, es igual a la raíz cuadrada del número 2 (Chanfón O., C. 1987). (Ver figura 1).
En el triangulo a b c, (Ver figura 2), el radio a-b del círculo interior que inscribe al cuadrado, tiene un valor de 1; y el del circulo exterior que circunscribe al mismo cuadrado con radio a-c; por teorema de Pitágoras es: √2 =1.414213562; es decir que ac / ab es igual al valor de √2.
Según las mediciones hechas en los marcadores y que se anotan en la siguiente tabla, las relaciones entre el radio exterior y el radio interior, en cada uno de los marcadores tienden al valor de la raíz cuadrada de 2 (ver tabla 3).
Se aprecia que TEO 17, es el que más se aproxima al tema de raíz de 2 y se piensa que pueda haber tal correspondencia por ser este el más regular en su trazo. Así el trazo gráfico medido en campo sobre la figura, sugiere firmemente el tema geométrico del cuadrado que inscribe y circunscribe dos círculos concéntricos. (Ver figura 3).
Ya se ha mencionado anteriormente por otros investigadores (Iwanizszewski, E. 1986: 249-273), la posibilidad de que el circulo interior se relacione con el calendario ritual de 260 días, y en general, considerando el número de horadaciones, también se ha mencionado, que se relacionan con la diferencia del número de días entre las apariciones y ocultaciones del sol, en fechas significantes, determinando los ciclos agrícolas (ibídem); Entonces si de alguna manera las combinaciones del circulo exterior con los demás elementos señalan fechas solares, resulta sugestivo el que la relación entre el año solar medio y el año ritual de 260 días resulte 1.404777692 muy semejante a la relación promedio de los radios exteriores e interiores de estos marcadores de 1.440652008; que a su vez es muy semejante al valor de raíz de 2.
Así pues la observancia y la gráfica de ciertos periodos agrícolas propicia o se relaciona con el calendario ritual y plantea un patrón geométrico-astronómico relacionado con el tema √2 = 1.414213562.
En un primer acercamiento a la posible relación de este patrón geométrico de los marcadores y del calendario ritual, con los periodos de los movimientos de los astros cercanos a nuestro planeta Tierra se puede decir que: Aún sin tener una idea clara del porqué pudiese presentarse tal relación con el tema geométrico que nos ocupa y menos que se pueda explicar por ahora, como fuese posible la detección de esta relación y que se pudiese representar por medio de los marcadores: Al relacionar la distancia máxima de la tierra al sol con la distancia mínima de Venus al Sol, nos da 1.416554888 que es muy cercano al valor de raíz de 2, al de TEO 17 y al del calendario ritual respecto al año solar medio. (Ver figura 4).
Si graficamos estos dos valores, en donde T-S es la distancia máxima de la Tierra al Sol y V1-S la distancia mínima de Venus al Sol, apreciaremos también el tema de un cuadrado inscrito y suscrito por dos círculos, que vienen siendo las supuestas trayectorias de la Tierra y Venus alrededor del Sol. Siendo T la Tierra, V1 y V2 el planeta Venus en sus elongaciones máximas 3; Por lo cual se puede anotar que de alguna manera estas formas significantes del planeta, tienen que ver con el tema geométrico del cuadrado inscrito y suscrito por las orbitas de la Tierra y de Venus.
Naturalmente el anterior esquema, viene siendo un tanto utópico; pues si en determinado momento las posiciones de T y V1 puedan ser máxima y mínima en su alejamiento del sol, para las siguientes posiciones T y V2, no van a ser otra vez máxima y mínima respectivamente. Por lo que, en la figura siguiente (Ver figura 5), si consideramos las distancias medias al sol de cada uno (T y V), el esquema no se ajusta con la misma exactitud como sucede en la figura anterior; en cambio en esta figura 5, los ángulos V1 T Sol y V2 T Sol, no son de 45º exactamente.
Hipotéticamente podemos situar a T, V1 y V2, a lo largo de sus órbitas a cada 15° de longitud eclíptica 4 (ver figura 6), a manera que sus posiciones se aproximen al esquema de un cuadrado que inscribe y suscribe las órbitas de la Tierra y Venus (o un cuadrado inscrito y suscrito por las dos órbitas). Sucederá entonces que a veces coincidirán estas posiciones con el esquema planteado; pero en la mayoría de esas posiciones no lo serán 5. Las elongaciones máximas de Venus, con valores de 45º, se suceden cada 2920 días, lo que equivale a 5 periodos sinódicos de Venus de 584 días ó a 8 periodos de 365 días (calendario prehispánico). Es sabido que los prehispánicos tenían conocimiento de los cinco periodos sinódicos de Venus, que coinciden aproximadamente en los mismos días de cada 8 años; Aunque esto se ha estudiado anteriormente para las conjunciones del planeta, no se había hecho con las elongaciones máximas. El estudio de esto último, ya se había mencionado fue expuesto anteriormente en Cozumel (Ponce de León, 2014: 57), donde los patrones geométricos de Venus en tiempo y espacio también fueron conocidos y usados.
Ahora se puede decir, como los movimientos aparentes del planeta, sugieren este patrón, aún sin tener conocimiento de los movimientos reales del sistema solar; El estudio detallado de los movimientos aparentes del planeta Venus en sus momentos significantes de máxima elongación, nos ha dado elementos para explicarnos su relación con el posible patrón geométrico sugerido por los marcadores de cruces punteadas con dos círculos concéntricos. (Ver figuras 5 y 6).
El número de oro
Respecto al marcador TEO 22, este sugiere otro tema geométrico, que es el pentágono, que también inscribe y circunscribe a dos círculos concéntricos, la relación matemática del radio del circulo exterior, entre el radio del circulo interior da un valor de 1.236067977 (Ver figura 7). Siendo el marcador TEO 22 también uno de los más regulares, sus radios medidos en campo son de 63,5 cm. y 51,5 cm. que da una relación de 1.236009709 que sugiere con bastante exactitud el patrón geométrico de la diapositiva anterior. (Ver figura 8).
Esta relación, del radio mayor con la apotema, en un pentágono, es uno de los aspectos geométricos más interesantes aquí en Mesoamérica, al igual que en las culturas de Oriente y Occidente, pues este canon ha sido usado prolíficamente por las más importantes culturas de la humanidad. Y tiene que ver con la relación de los radios máximo y mínimo (afelio y perihelio) de la circunvalación del planeta Marte, alrededor del Sol cuya razón matemática es de: 1.665732 / 1. 382268 = 1.20501, valor cercano al que presenta TEO 22. (Ver figura 9).
Es sabido que la relación [(√5) – 1] / 2; (1.236067977) / 2, es igual al valor de φ (0.618) (Ver figura 10) y que [(√5) + 1] / 2; es igual a 1.618; que es el valor que guardan aproximadamente el año solar respecto al año venusino, (365.2422 / 225 = 1.622) (Ver figura 10). Sobre esto mismo, la Dra. Martínez, en la escultura de Tlahuizcalpantecutli o Xolotl que se encuentra en el museo de Stuttgart, Alemania (Ver figura 11), dice que los círculos concéntricos que se encuentran en la espalda de ésta (el mayor y el menor), se encuentran en proporción áurea y dice representan: la órbita de Venus (225 días, el círculo más pequeño) y de la Tierra (365 días, el círculo mayor). (Martínez 2000: 153), con lo cual ella asume que los radios de ambas circunvalaciones, están en esa proporción de F, pues efectivamente 225 días / 365 días = 0.616; Pero realmente esos radios respecto al Sol (al menos el máximo de la Tierra y el mínimo de Venus), están en proporción √2 = 1.414 Lo interesante de esto, es que geométricamente estos dos algoritmos √2; y [(√5) +/- 1] / 2; en los eventos de espacio y tiempo del planeta Venus, rigen sus movimientos; pues si consideramos las distancias respecto al Sol (1 y 0.707) de la Tierra y de Venus, el patrón geométrico de los 2 círculos será el cuadrado que inscribe y circunscribe a esos círculos y si consideramos los tiempos invertidos en recorrer las circunvalaciones (365 y 225), el patrón geométrico de los dos círculos y radios serán en proporción áurea.
Es sumamente interesante que en la cultura mesoamericana, respecto al contexto de Venus, aparezcan estos dos patrones: uno relacionado a las distancias respecto al Sol y el otro relacionado con el tiempo empleado en dar la circunvalación al Sol. En los dos casos, son deducciones que requieren del conocimiento real del sistema planetario; los 365 días del año solar, que si fueron relativamente fácil detectables, no así los 225 días y las distancias respecto al Sol, que requieren de concebir imaginativamente la esfericidad del cosmos ya sea geocéntrico o heliocéntrico; La concepción prehispánica era de planos o cielos horizontales, cosa que está documentado en las laminas I y II del Códice Vaticano Latino (Kingsborough, 1964 v. III: 9) (Ver figura 12).
Para nuestro estudio, es importante la ascendencia hispana, sobre la simetría en México, pues, es la que primero se funde con la cultura indígena; Por lo que nos conviene analizar lo que dice Chueca Goitia, sobre la simetría “producida sobre el solar mexicano”, al hablar de los invariantes castizos de la arquitectura española (Encina, 1982: 11). Pues si bien por un lado se reafirma la influencia hispana en la arquitectura del México colonial y virreinal; al comparar estos invariantes castizos sobre el tema de la simetría, con la armonía en sus proporciones, de la arquitectura prehispánica, puede ciertamente afirmarse que aquí en México, después de la conquista se lleva a cabo un sincretismo, que se convierte en una invariante geométrica que se presenta en todos los estilos que se suceden en la Nueva España, el Virreinato y el México Independiente.
En el Nuevo Mundo Colonial, mezcla de dos culturas la europea y la indígena, en lo que se refiere a la proporción que conforman los elementos tanto arquitectónicos como urbanos se produce un sincretismo; producto de la pervivencia del uso común (europea e indígena) del canon geométrico que relaciona las partes, en razón 1 a 1.618 y que se convierte a través de los años en una invariante formal, que se manifiesta en los diferentes estilos o corrientes artístico-culturales de los periodos colonial, virreinal e independiente; siendo en épocas recientes posteriores al modernismo en el que la aplicación de este canon disminuye hasta casi no utilizarse.
De tiempo atrás, ya diferentes investigadores6 han demostrado que la armonía estaba presente, en los edificios arquitectónicos e inclusive esculturas y espacios urbanos en las culturas mesoamericanas. La pirámide de la Serpiente Emplumada en Xochicalco, edificio restaurado con cierto método de anastilosis, mediante el cual presenta su forma original, al menos en sus cuatro primeros cuerpos; no existiendo el quinto cuerpo más que en forma hipotética, propuesto por Marquína. (1964: 133).
El siguiente análisis (Ver figuras 13, 14, 15 y 16) de trazo armónico fue presentado por mí, en 1989 en la 2nd Oxford International Conference on Archaeoastronomy, en Mérida Yucatán (Aveni, 1989: 496). En él se describe geométricamente paso por paso, la proporción armónica de cada uno de sus cuerpos, tanto en planta como en fachadas. Considerando en fachada, el eje central a mitad de la escalera, se analiza la mitad de la fachada poniente, que queda inscrita en un rectángulo con proporciones armónicas.
En la cultura occidental, este canon es de origen pitagórico y más aún aparece ya en el antiguo Egipto y en las culturas de oriente; pero aquí en el México prehispánico, en primera instancia se ha atribuido su presencia, a la necesidad que de forma natural el hombre ordena sus productos culturales.
Conclusiones
Las posibles razones por las que en Mesoamérica se presentan asiduamente, el uso de estos cánones geométricos de las proporciones en √2 y [(√5) +/- 1] / 2; Que se presentan en los marcadores TEO 17 y TEO 22 y que se sugieren en otros marcadores, pudieran estar relacionados con las diferentes partes formales de los edificios, que presentan igualmente esas proporciones de 1.414 ó 1.618; Hasta lo que se ha dicho anteriormente en este trabajo, tienen relación con la mecánica real de los movimientos de los planetas Venus y Marte. Pero no bien se aclara como es que los movimientos aparentes de estos planetas presenten lapsos de tiempo y posiciones angulares prácticas y observables a simple vista, pues no se tiene la certeza de que los mesoamericanos conociesen los movimientos reales, que ya se ha mencionado requiere del concepto de la esfericidad del cielo, cosa que todas las referencias históricas lo mencionan.
Es muy importante y sugerente el canon geométrico que se presentan en los marcadores analizados anteriormente, por lo que en estudios recientes (Ponce de León, 1989: 496, 2006: 123 y 2014: 57), el análisis de las posiciones aparentes del planeta Venus y del Sol durante un periodo mayor a tres decenios, brinda la certeza de posicionar el planeta sin instrumento sofisticado alguno en sus posiciones significantes, con ángulos horizontales, verticales y lapsos de tiempo, en valores que involucran los algoritmos como los analizados en este trabajo y otros también de raigambre occidental; pero que también están presentes en las culturas mesoamericanas.
Este último análisis no se presenta en este trabajo, que como método de estudio requiere de proyecciones ortogonales de la bóveda celeste sobre la que se colocan las posiciones significativas de Venus y el Sol, que como se decía presentan valores que demuestran los cánones anteriormente mencionados. Pero todo este contexto pragmático, ha de estudiarse y decantarse a través de los conceptos de la cosmovisión y el paisaje ritual que si bien para el clásico teotihuacano no precisamente se cuenta con muchos datos, ha de servir lo que de culturas posteriores se sabe sobre el paisaje culturalmente transformado a través de la historia, dice la Dra. Broda cuando habla del paisaje ritual de la Cuenca de México:
Este paisaje ritual fue creado por los mexicas durante el siglo XV al tomar posesión de los espacios políticos de la Cuenca y ocupar los santuarios más antiguos que, antaño, habían pertenecido a otros pueblos y grupos étnicos. De esta manera se expresaban relaciones de dominio, de sincretismo e integración, así como la fuerte vigencia de una tradición cultural que conectaba a los mexica con las culturas anteriores a ellos (Broda, J. 2001: 296).
El autor es Profesor adscrito a la Facultad de Artes y Diseño Plantel Taxco de la UNAM y Profesor Investigador de la UADA Campus Taxco UAGro.
Contacto: arpoleh@yahoo.com.mx
(Publicado el 11 de febrero de 2016)
Fuentes de consulta:
- Aveni, Anthony F. 1991. Observadores del cielo en el México antiguo, FCE, México.
- Aveni, Anthony F. 1989. World archaeoastronomy, Cambridge University Press, New York.
- Aveni, Anthony F. y Horst Hartung. 1985. Las cruces punteadas en Mesoamérica: Versión actualizada, en: Cuadernos de Arquitectura Mesoamericana, no 4 (pp. 3-13).
- Broda, Johanna. 2001. Ritos Mexicas en los cerros de la Cuenca: Los sacrificios de niños, en: Johanna Broda, Stanislaw Iwaniszewski y Arturo Montero, La Montaña en el paisaje ritual, INAH, UNAM.
- Broda, Johanna. 1987. La piedra del Sol» en: Cuadernos de Arquitectura Mesoamericana, no. 9, (pp. 50).
- Encina, Juan de la. 1982. Fernando Chueca Goitia, su obra teórica entre 1947 y 1960, UNAM, México, 149 pp.
- García-Pelayo y Gross. 1976. Pequeño Larousse, ed. Larousse, México.
- Iwaniszewski, Stanislaw. 1986. La arqueología de alta montaña en México y su estado actual, en: Estudios de Cultura Náhuatl, vol. 18 (pp. 249-273).
- Kingsborough, Lord. 1964. Antigüedades de México, v. III, México.
- Marquina, Ignacio. 1964. Arquitectura prehispánica, INAH. México.
- Martinez del Sobral, Margarita. 2000. Geometría mesoamericana, FCE, México.
- Ponce de León H. Arturo. 1987. La sección áurea en Mesoamérica y su significado astronómico, en: J. A. Siller, “Estudios de proporción en la arquitectura prehispánica», en: Cuadernos de Arquitectura Mesoamericana, no. 9, (pp. 47).
- Ponce de León H. Arturo. 1989. The golden mean in Mesoamerica and its astronomical significance, en: A. Aveni ed., World archaeoastronomy, Cambridge University Press, New York.
- Ponce de León H. Arturo. 2014. Cosmovisión mesoamericana y patrones geométricos astronómicos, en: El papel de la arquoastronomía en el Mundo Maya: El caso de la Isla Cozumel, UNESCO.
- Siller, Juan Antonio. 1987. “Estudios de proporción en la arquitectura prehispánica», en: Cuadernos de Arquitectura Mesoamericana, no. 9, (47-50).
- Este artículo es parte del presentado en el 53 Congreso Internacional de Americanistas (2009).
- Movimiento Sinódico. Es el tiempo que tarda un planeta en volver a hallarse en oposición o en conjunción con el Sol.
- Elongación: Ángulo geocéntrico entre un planeta y el Sol, medido en el plano definido por el planeta, el Sol y la Tierra. Las elongaciones planetarias fluctúan entre 0º y 180º, al Este o al Oeste del Sol. Elongación Máxima: Instante en que la elongación alcanza su valor máximo.
- Longitud Eclíptica: Distancia angular de un cuerpo celeste medida sobre el plano de la eclíptica, a partir del primer punto de Aries.
- Para el desarrollo de esta hipótesis, se usó la carta de orbitas planetarias del observatorio de Harvard (copia facilitada por el Sr. Don Alberto González Solís, de la Sociedad Astronómica Mexicana).
- Mediante una recopilación razonada el Arq. Juan Antonio Siller, confronta los trabajos de varios investigadores como: Beatriz de la Fuente, Manuel Amábilis, Carlos Chanfón y Arturo Ponce de León. (Siller, J. A. 1987: 47). También hay que mencionar a Margarita Martínez del Sobral, (2000: 153).
